%\subsection{Модель интервенций}
\qquad Вспомним представление: $$ Y_t = N_t * u_t,
$$
где $'*'\in \{'+','-'\},$ $N_t$ - интервенция - кратковременное
воздействие, сильно влияющее на ряд. Обычно рассматривают
аддитивную модель, т.е. $'*'='+'.$ Модель интервенций похожа на
АРСС. Она выглядит так: $$ N_{t} + S_{1}N_{t-1} + \ldots +
S_{d}N_{t-d} = \omega_{0}\xi_{t} + \ldots + \omega_{l}\xi_{t-l} +
N_{0}
$$
%Здесь $N_0$ - базовый уровень интервенции - значение ряда перед
тем, как произошел скачок. $S_1, \ldots, S_d$ - коэффициенты типа
АР, $\omega_0, \ldots, \omega_l$ -коэффициенты типа СС.
\\

Пусть $t^{*}$ - момент скачка. Тогда $\xi_t$ - экзогенные
переменные, определяются так. Они бывают двух типов:
\begin{itemize}
    \item ступень: $$\xi_t = \left\{%
\begin{array}{ll}
    0, & \hbox{$t<t^*$;} \\
    1, & \hbox{$t\ge t^*$.} \\
\end{array}%
\right.
    $$
    \item импульс:$$\xi_t = \left\{%
\begin{array}{ll}
    0, & \hbox{$t \ne t^*$;} \\
    1, & \hbox{$t= t^*$.} \\
\end{array}%
\right.
    $$
\end{itemize}
Это общая модель. В пакете "Статистика"\; представлено несколько
реализаций, определяемых значениями $d$ и $l,$ а также типом
$\xi_t.$ Рассмотрим некоторые из них подробнее:
\\

\paragraph{Тип 1: Устойчивый скачкообразный тип} $d=0, \; l = 0,$ $\xi_t$ - ступень.
$$ N_t  =\omega_0\xi_t + N_0.$$
Изменяется базовый уровень интервенции. Процесс после скачка
сдвигается вверх или вниз. На практике для исследования временного
ряда нужно на глаз определить момент интервенции. Это не всегда
простая задача, т.к. вслед за интервенцией может следовать скачок,
интервенцией не являющийся. Для проверки догадки стоит вычесть из
ряда предполагаемую интеревенцию и посмотреть, как поведет себя
модель.
\\

\paragraph{Тип 2: Постепенный устойчивый тип} $d=1, \; l=1,
\;\xi_t$ - ступень.
$$ N_t + SN_{t-1} =\omega_0\xi_t + \omega_1\xi_{t-1}+ N_0.$$
\\

\paragraph{Тип 3: Скачкообразный временной тип} $d=1,\; l=1,\;
\xi_t$ - импульс. $$ N_t + SN_{t-1} =\omega_0\xi_t +
\omega_1\xi_{t-1}+ N_0.$$ Интервенция представляет собой скачок в одной точке. В данном случае её сложно отличить от значения, которое просто сильно отклонилось от траектории. Зачастую значение в момент скачка лучше изменить, например, усреднить по соседним точкам. Ступень же лучше подобрать. Есть также метод разделить ряд
на два - до интервенции и после, затем их проанализировать по
отдельности, сделать прогноз. Общий прогноз получается совмещением
по определенному правилу прогнозов от каждого из рядов. Также есть
достаточно общая рекомендация: если данных до скачка мало, то их
вообще лучше выкинуть и рассматривать укороченный временной ряд.
\\

Теперь рассмотрим временной ряд, который получается из исходного
удалением интервенций.

